Beim Einrichten meiner Messenger-Apps trat bei mir das Problem auf, dass der FCM-Dienst in microG (dort noch als GCM bezeichnet) nicht aktiv war. Folglich konnten sich die Messenger-Apps nicht beim FCM-Dienst registrieren und erhielten keine Meldung über neu eingehende Nachrichten.
Nach einigem Suchen und Probieren fand ich die Lösung mit Hilfe von @Berniyh: Der FCM-Dienst von microG kann über einen speziellen GSM-code aktiviert werden.
Die Eingabe der Zeichen/Ziffernkette *#*#2432546#*#* (oder *#*#CHECKIN#*#* im T9 Modus) auf dem Tastenfeld der Telefon-App startet den FCM-Dienst auf dem Mobiltelefon. Beim nächsten Start der App registrieren sich die Messenger und empfangen auch im Ruhezustand zuverlässig neue Nachrichten.
Kurzer Hinweis: TrackerControl und andere tracker blocker blockieren MicroG. Falls push messages nicht funktioniert, bitte prüfen ob ein Tracker Blocker aktiv ist